CLASE DEL JUEVES 26 DE SEPTIEMBRE DE 2013

RAZONAMIENTOS DEDUCTIVO E INDUCTIVO

El Razonamiento Deductivo, se utiliza cuando se parte de lo general para concluir algo particular. En el caso de las matemáticas existen verdades demostradas, universalmente aceptadas, las generalidades, que se utilizan para aplicarse en la resolución de problemas particulares; por ejemplo, en trigonometría, la resolución de triángulos usando el Teorema de Pitágoras o las Leyes de Senos y Cosenos.

Por el contrario, en el Razonamiento Inductivo se parte de lo particular para concluir algo general. Se sabe que no es la forma correcta de razonar, porque puede ser que la generalización no se cumpla.

Los problemas de sucesiones numéricas, para tratar de predecir el próximo término de la sucesión o el n-ésimo término, que sería la generalización a partir de lo particular, son claras aplicaciones del razonamiento inductivo.

En la sucesión:   49, 64, 81, 100, 121, 144, ..., de acuerdo a mi criterio, no es difícil darse cuenta que son cuadrados de números consecutivos a partir del 7 y que el n-ésimo término será  (6+n)²

Sin embargo, me llamó mucho la atención la solución que fue bastante común entre los colegas que no manejan números habitualmente y que, desde mi punto de vista, tenía una mayor dificultad.

Otro tipo de problemas que también son aplicación del Razonamiento Inductivo son aquellos donde se debe "buscar un patrón numérico". En el problema de los escalones formados con cubos, tuve problemas al principio porque hice mal una de las primeras sumas y eso no me dejaba identificar el patrón. Luego de revisar mis resultados iniciales pude darme cuenta de mi error y logré resolver el problema.

En el problema de los triángulos con palillos pude darme cuenta, de nuevo, de la importancia de hacer una tabla muy ordenada, que permita ver el patrón y que conduzca a resolver el problema.

¿Cuántos palillos se necesitan para el octavo nivel?

NIVEL	TRIÁNGULOS EN ESE NIVEL	CANTIDAD DE PALILLOS DE ESE NIVEL	CANTIDAD DE PALILLOS ACUMULADOS
1	1	3	3
2	2	6	6
3	3	9	18
4	4	12	30
5	5	15	45
6	6	18	63
7	7	21	84
8	8	24	108

Tenemos para resolver aún dos problemas a través la estrategia de "usar una tabla". En el problema de la composición de las familias trabajamos en equipo con Herbert y llegamos a la siguiente tabla:

Nombre	Carrera	Esposa	Domicilio	Afición
Juan	Físico	Patricia	A	música
Alfredo	Abogado	Elisa	B	futbol
Ricardo	Militar	Juana	C
Manolo	Ingeniero	María	D	pesca

Con la información proporcionada no se logra establecer la afición de Ricardo, eso nos llevó a pensar que era él a quien le gustaban los discos; pero luego, también es lógico pensar que es Juan, a quien le gusta la música, quien se gasta su dinero en discos ya que no hay nada que nos indique claramente la afición de Ricardo.

Luego en el problema de "el número de la casa" una de las distribuciones que cumple con el enunciado del problema sería:

NÚMERO DE CASA	PERSONA QUE VIVE EN ESA CASA
101	Elisa
102	Roberto
103	Alicia
104	Jaime
105	David

Además de usar una tabla, en la resolución de este problema también se combina ensayo y error.

CLASE DEL MARTES 24 DE SEPTIEMBRE DE 2013

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Segunda Parte

Para iniciar esta clase se planteó el problema de los tres viajeros a quienes se les cobra $10 a cada uno. El enunciado del problema induce al error al afirmar que cada viajero ha pagado $27, cuando en realidad eso nunca sucede, ya que cuando se les devuelven $5, cada uno ha pagado $25/3 y, a partir de allí, ya no hay pierde, ni falta, ni sobra dinero.

En la resolución de problemas hay que estar atentos a la información que se proporciona, discriminar la importante y, resalto de nuevo la importancia del paso 1 del proceso de Polya, asegurarnos de entender el problema.

En el siguiente problema se trató de utilizar la estrategia de "ensayo y error":.

Coloque los números del 1 al 9 en cada círculo, sin repetición, de tal forma que la suma de los tres lados sea la misma.

No pude resolverlo. Hice muchos intentos, me daba cuenta que en las esquinas debía colocar los números menores pero al tratar de colocar los otros números por ensayo y error estaba haciéndolo "a lo loco", sin un orden. Sin duda, esa es la respuesta a la pregunta al final del enunciado del problema: ¿Qué considera básico para trabajar por ensayo y error? Intentar de forma ordenada y reflexiva, no hacer simplemente intentos a lo loco. Es como insertar una estrategia dentro de otra estrategia. Cuando Vilma orientó de forma ordenada los intentos en el pizarrón, la resolución surgió muy sencillamente.

Los siguientes problemas debían resolverse usando la estrategia de "hacer un diagrama o un dibujo". Aunque esta es en sí una estrategia, pienso que es también una recomendación muy válida para tratar de resolver cualquier problema: "siempre que el problema lo permita, tratar de poner su enunciado en un dibujo". Esto puede ayudar a ver de una forma más clara la relación entre la información que el problema nos da y lo que nos está preguntando, independientemente de la estrategia que luego escojamos para tratar de resolverlo.

La próxima estrategia que se revisó fue "usar una tabla". También en esta estrategia se hizo evidente que mientras más ordenada sea nuestra tabla, más cómodamente podremos resolver el problema. Hacer tablas ordenadas puede ayudarnos a evidenciar algún patrón, como lo dijo Liselott.

En el problema: ¿Cuántos cuadrados hay en un tablero de ajedrez? Inicialmente nuestro grupo lo vio muy fácil porque no habíamos tomado en consideración los "traslapes", entonces, nos dimos cuenta de lo importante de hacer una tabla muy ordenada para poder resolverlo, como puede observarse:

CUADROS POR LADO	CANTIDAD QUE SE FORMA DE ESOS CUADRADOS
1 X 1	64 = 8 X 8
2 X 2	49  = 7 X 7
3 X 3	36 = 6 X 6
4 X 4	25 = 5 X 5
5 X 5	16 = 4 X 4
6 X 6	9 = 3 X 3
7 X 7	4 = 2 X 2
8 X 8	1 = 1 X 1
TOTAL	204

CLASE DEL JUEVES 19 DE SEPTIEMBRE DE 2013

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Acordamos en reconocer como problema a una tarea que un individuo debe resolver, la cual representa alguna dificultad para esa persona. El problema o su resolución no dependen del tiempo que se les dedique. Bajo esta definición nos podemos dar cuenta que la un problema no se circunscribe al entorno matemático, sino es, más bien, de aplicación general.

La resolución de problemas es un "proceso"; el matemático húngaro Geroge Polya recomienda que este proceso siga los siguientes pasos:

1. Entender el problema. En mi consideración personal, este paso es el más importante ya que si no alcanzamos a entenderlo no vale la pena continuar con los próximos pasos.
2. Definir una estrategia.
3. Ejecutar esa estrategia.
4. Comprobar y revisar el resultado, asegurándose que la solución que hemos encontrado responde a lo que el problema pregunta.

La parte práctica de la clase consistió en resolver algunos problemas que, básicamente, estaban relacionados con disposiciones espaciales. Observando a los compañeros que estaban cerca de mí pude observar que aquellos que tienen como formación carreras que potencian la habilidad espacial, como Arquitectura e Ingeniería, pudieron resolver estos problemas más fácilmente que los colegas que tienen formaciones humanísticas. En cuanto a mi persona, yo he utilizado varios de ellos cuando cuando he impartido el curso de Estrategias de Razonamiento.

En la primera parte de la clase se resolvieron problemas con la ayuda de palillos. Personalmente considero que una ventaja para la resolución de éstos era tener conocimientos básicos de geometría. Por otro lado, me parece muy importante la recomendación de enfrentar un problema con una actitud positiva. Hay que tratar de esforzarse verdaderamente y no darse por vencido rápidamente. Pude observar que cuando algunos compañeros veían que otros resolvían con rapidez o con facilidad los problemas se descorazonaban y se "desinflaban". Ver que otras personas resuelven con rapidez o con facilidad algo que nos está costando puede bloquearnos si no entendemos que cada quien tiene diferentes habilidades.

El primer problema a resolver fue: sacar la basura de la pala. La solución a este problema y otro similar se muestra en el siguiente video tomado de YouTube.

En el problema de "construir 2 triángulos equiláteros con 5 palillos", puede presentarse dificultad si pensamos en formar 2 triángulos separados, pero formado el primer triángulo, es fácil ver dónde deben colocarse los 2 palillos restantes para formar los 2 triángulos.

El próximo problema era: retirando 2 palillos, 4 cuadrados se convierten en 2. De nuevo, la dificultad surge cuando se trata de formar 2 cuadrados separados o 2 cuadrados del mismo tamaño. Me costó un poco dar con la idea de dejar un cuadrado pequeño dentro de otro más grande.

Los próximos problemas también fueron de distribuciones espaciales, ahora unir puntos con rectas. El primero consistía en unir 3 filas de 3 puntos cada una con 4 trazos rectilíneos continuos, sin levantar el lápiz del papel y sin recorrer 2 veces el mismo trazo. Me hizo sentir mal el no recordar cómo resolverlo. Ya había usado este ejercicio anteriormente y sabía que debía salirme del cuadrado que forman los 9 puntos, pero no pude recordar la secuencia de los movimientos hasta que Liselott lo resolvió en el pizarrón. Creo que mi error fue tratar de "recordar" la secuencia de la solución en lugar de tratar de resolverlo.

Basado en el ejercicio anterior, ahora el nuevo problema fue: dadas 4 filas de 4 puntos cada una, unir todos los puntos con 6 trazos rectilíneos continuos, sin pasar por el mismo trazo 2 veces y finalizando en el mismo punto donde se comenzó. Definitivamente, acá la estrategia que usé fue resolver previamente un problema similar más sencillo. haber visto como se resolvía el problema anterior fue de mucha ayuda. Luego de 3 intentos logré dar con la solución. Una pista muy importante es que el punto de inicio y final no tiene que ser uno de los 16 originales.

Secuencia para resolución de ejercicio de 16 puntos


 El próximo problema fue: en una cuadrícula de 3 filas y 3 columnas, colocar los dígitos del 1 al 9, sin repetirse de tal forma que la suma de cada fila, cada columna y cada diagonal principal sea 15. Logré resolver luego de 4 intentos. Al principio puse 5 en el centro y 9 en una esquina. Eso significaba que debía usar ese 9 en una diagonal, una columna y una fila. Para evitar eso dejé el 5 en el centro y el 9 en la posición central de la columna izquierda, luego solo fue de "balancear" los dígitos mayores, es decir, dejarlos en una fila o columna que no tuviera que sumarse con el 9 y a partir de allí fue más sencillo encontrarles su posición.

          4          3          8
          9          5          1
          2          7          6

Para la estrategia del totito hicimos pareja con Herbert. Luego de 12 intentos nos dimos cuenta que existe ganador, si el primer jugador toma el centro en el primer tiro y el segundo jugador no juega una esquina, luego, si el primer jugador toma una de las esquinas junto a la posición que tomó el segundo jugador, el primer jugador gana. La estrategia defensiva es la siguiente: el primer jugador toma la posición del centro, si el segundo jugador toma una esquina, no hay ganador.

El problema de la rana tratando de salir de un pozo ya lo había resuelto anteriormente. Recuerdo que en esa oportunidad la estrategia que utilicé fue hacer un dibujo. Puede ser fácil inferir, erróneamente, que la rana saldrá en 20 días luego de ver el patrón inicial, pero al completar los días finales puede observarse que la rana alcanza la orilla del pozo en el día 17.

Finalmente, el último problema fue el del preso que sube los escalones y que sale libre luego de alcanzar el escalón número 100. Con las condiciones dadas, pensé que una estrategia que se adecuaba a este problema era hacer una tabla:

AÑO	MES	SUBE	BAJA	POSICIÓN AL FINAL DEL MES
2001	Enero	31		31
	Febrero		28	3
	Marzo	31		34
	Abril		30	4
	Mayo	31		35
	Junio		30	5
	Julio	31		36
	Agosto	31		67
	Septiembre		30	37
	Octubre	31		68
	Noviembre		30	38
	Diciembre	31		69
2002	Enero	31		100

El preso alcanzará el escalón número 100 y saldrá libre el 31 de enero de 2002.
Si la escalera tuviese 99 escalones lo hará un día antes.
Me parece que en este problema algunos colegas tuvieron inconvenientes por no entender las instrucciones correctamente.